Điều tiên mình đến với định nghĩa:
Xét hai biến ngẫu nhiên x và y. Ta quan sát được rất nhiều cặp của x và y là đầu vào. Sẽ có những cặp xuất hiện nhiều hơn những cặp khác. Thông tin được biểu diễn bằng một phân phối gọi là joint probability của x và y, được viết là p(x,y). Có thể hiểm nôm na là: p(x,y) là xác suất xảy ra x và y.
Cũng xét 2 biến ngẫu nhiên x và y như trên, thì xác suất của biến ngẫu nhiên x biết rằng biến ngẫu nhiêu y có giá trị y* được gọi là xác suất của x với điều kiện cho trước của y = y. Ký hiệu là p(x|y=y) (đọc là probability of x give that y takes value y). Có thể hiểu nôm na là p(x|y) là xác suất xảy ra của x khi y được cho trước một giá trị nào đó. Tới đây, mình cũng bắt đầu mơ hồ hiểu được, nên mình sẽ bắt đầu với những câu hỏi? Vậy p(x, y =y) có bằng p (x|y = y) không ? $\sum p(x,y = y) bằng bao nhiêu? $\sum p(x|y = y*) bằng bao nhiêu Ở đây mình giả sử x,y là rời rạc (discrete)
Mình bắt đầu bằng 1 bài toán. Lớp học A có 2 loại học sinh là giỏi và khó, họ thi một tiêng anh và kết quả của họ như sau:
| Loại học sinh | Đậu | Rớt |
|---|---|---|
| Giỏi | 4 | 2 |
| Khá | 3 | 3 |
Nhìn vào bài toán dễ thấy. Lớp A có tổng cộng: 4 + 2 + 3 + 3 = 12 học sinh. Gọi x là biến ngẫu nhiên của loại học sinh (giỏi, dốt) y là biến ngẫu nhiên của kết quả thi (đậu, rớt)
Dễ thấy p(x = giỏi, y = đậu) được hiểu là: xác suất để một học sinh vừa giỏi và đậu là: 4/12. Vậy phải hiểu p(x, y = đậu) là gì: Theo mình đó là xác suất để một học sinh với biến x và đậu.
$\sum p(x,y = đậu) = p(x = giỏi, y = đậu) + p(x = khá, y = đậu) = 4/12+ 3/12 = 7/12 Tức là tổng số lượng số học sinh đậu chia cho số lượng học sinh.
| Vậy p(x | y) sẽ được hiểu như thế nào ở đây? |
| Ví dụ: p(x | y= đậu) sẽ được hiểu là xác suất để một học sinh đó với biến x và biết rằng học sinh đó đậu. |
| Haha, theo mình thì nó hơi mơ hồ, nhưng mà bạn thử tìm nghĩ về không gian sự kiện của p(x, y= đậu) và p(x | y= đậu). |
Ở p(x, y = đậu) không gian sự kiện là 12 = số học sinh trong lớp.
| Ở p(x | y= đậu) không gian sự kiện là 7 = số học sinh đậu. |
| p(x = giỏi | y = đậu) = 4/7 |
| p(x = khá | y = đậu) 3/7 |
| $\sum p(x | y = y*) = 1 ( với p(x,y) thì tổng nó bằng 7/12) |
| Vậy p(x,y) và p(x | y) có 2 không gian sự kiện khác nhau, ta có thể biểu diễn chúng bằng 1 công thức không?. Câu trả lời là có. |
| Ví dụ p(x = giỏi | y = đậu) sẽ được hiểu là số lượng học sinh vừa giỏi vừa đậu chia cho số lượng học sinh đậu ( có cả khá và giỏi). |
| Cộng thức là p(x = giỏi | y = đậu) = (\frac {p(x = giỏi , y = đậu) * 12 } {p (x, y = đậu) * 12}) = (\frac {p(x = giỏi , y = đậu) } {p (x, y = đậu)}) |
Tổng quát: p(x|y) = (\frac {p(x,y) * N } {p (y) * N}) = (\frac {p(x,y)} {p (y)}) Với N là không gian sự kiện